个人随笔
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算法设计技巧之分治算法(Java实现快速排序、归并排序)
2020-04-18 23:01:32

一、基本概念

在计算机科学中,分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小,越容易直接求解,解题所需的计算时间也越少。例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时,不需任何计算。n=2时,只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可,…。而当n较大时,问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题,有时是相当困难的。

二、基本策略

对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题。这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解,这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解,这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。

三、适用的情况

(1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决;

(2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质;

(3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;

(4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题

  • 第一特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加。

  • 第二特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用。

  • 第三特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三特征,如果具备了第一和第二特征,而不具备第三特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法。

  • 第四特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的,则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。

四、基本步骤

  • step1分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;

  • step2解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题;

  • step3合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下:

  1. Divide-and-Conquer(P)
  2. if |P|≤n0
  3. then return(ADHOC(P))
  4. //将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
  5. for i1 to k
  6. do yi Divide-and-Conquer(Pi) //递归解决Pi
  7. T MERGE(y1,y2,...,yk) //合并子问题
  8. return(T)

其中|P|表示问题P的规模,n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P,因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

五、复杂性分析

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间,再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有:

T(n)= k T(n/m)+f(n)

通过迭代法求得方程的解:

递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值,但是如果认为T(n)足够平滑,那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的,从而当mi≤n<mi+1时,T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

六、依据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法,找到解决本问题的求解方程公式,然后根据方程公式设计递归程序。

  • 1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法
  • 2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法
  • 3、找到求解的递归函数式后(各种规模或因子),设计递归程序即可。

七、可使用分治法求解的一些经典问题

  1. 二分搜索
  2. 大整数乘法
  3. Strassen矩阵乘法
  4. 棋盘覆盖
  5. 归并排序
  6. 快速排序
  7. 线性时间选择
  8. 最接近点对问题
  9. 循环赛日程表
  10. 汉诺塔

八、Java使用分治法实现快速排序和归并排序

快速排序和归并排序的实现完全符合分治法的思想,下面是我实现快速排序和归并排序的博文,大家可以参考下,后面我会将快速排序和归并排序的代码贴出来。

Java实现九种排序算法7:交换排序之快速排序
Java实现九种排序算法8:归并排序

1、Java版快速排序例子

  1. public class QuickSort {
  2. /**
  3. * 快速排序
  4. * @param a
  5. * @return
  6. */
  7. public static int[] quickSort(int[] a) {
  8. if(a.length>0) {
  9. quickSort(a,0,a.length-1);
  10. }
  11. return a;
  12. }
  13. private static void quickSort(int[] a, int low, int high) {
  14. if(low<high) {
  15. //选择基准元素
  16. int middle = getMiddle(a,low,high);
  17. quickSort(a, 0, middle-1);
  18. quickSort(a, middle+1, high);
  19. }
  20. }
  21. private static int getMiddle(int[] a, int low, int high) {
  22. //假设第一个是基准元素
  23. int temp = a[low];
  24. while(low<high) {
  25. //找到比基准元素小的位置
  26. while(low<high&&a[high]>=temp) {
  27. high--;
  28. }
  29. a[low] = a[high];
  30. //当队首元素小于等于tmp时,向前挪动low指针
  31. while(low<high && a[low]<=temp){
  32. low++;
  33. }
  34. a[high] = a[low];
  35. }
  36. a[low] = temp;
  37. return low;
  38. }
  39. /**
  40. * 测试打印
  41. * @param a
  42. */
  43. private static void print(int[] a) {
  44. for (int i = 0; i < a.length; i++) {
  45. System.out.print(a[i]+" ");
  46. }
  47. System.out.println();
  48. }
  49. public static void main(String[] args) {
  50. int[] a = {49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,1};
  51. print(a) ;
  52. a = quickSort(a);
  53. print(a) ;
  54. }
  55. }

2、Java版归并排序的例子

  1. public class MergeSort {
  2. /**
  3. * 归并排序
  4. * @param a
  5. * @param left
  6. * @param right
  7. */
  8. public static int[] mergeSort(int[] a) {
  9. return mergeSort(a, 0, a.length-1);
  10. }
  11. private static int[] mergeSort(int[] a, int left, int right) {
  12. if(left<right){
  13. int middle = (left+right)/2;
  14. //对左边进行递归
  15. mergeSort(a, left, middle);
  16. //对右边进行递归
  17. mergeSort(a, middle+1, right);
  18. //合并
  19. merge(a,left,middle,right);
  20. }
  21. return a;
  22. }
  23. private static void merge(int[] a, int left, int middle, int right) {
  24. int[] tmpArr = new int[a.length];
  25. int mid = middle+1; //右边的起始位置
  26. int tmp = left;
  27. int third = left;
  28. while(left<=middle && mid<=right){
  29. //从两个数组中选取较小的数放入中间数组
  30. if(a[left]<=a[mid]){
  31. tmpArr[third++] = a[left++];
  32. }else{
  33. tmpArr[third++] = a[mid++];
  34. }
  35. }
  36. //将剩余的部分放入中间数组
  37. while(left<=middle){
  38. tmpArr[third++] = a[left++];
  39. }
  40. while(mid<=right){
  41. tmpArr[third++] = a[mid++];
  42. }
  43. //将中间数组复制回原数组
  44. while(tmp<=right){
  45. a[tmp] = tmpArr[tmp++];
  46. }
  47. }
  48. /**
  49. * 测试打印
  50. * @param a
  51. */
  52. private static void print(int[] a) {
  53. for (int i = 0; i < a.length; i++) {
  54. System.out.print(a[i]+" ");
  55. }
  56. System.out.println();
  57. }
  58. public static void main(String[] args) {
  59. int[] a = {49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,1};
  60. print(a) ;
  61. a = mergeSort(a);
  62. print(a) ;
  63. }
  64. }
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啊!这个可能是世界上最丑的留言输入框功能~


当然,也是最丑的留言列表

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