最大堆原理及Java版实现

优先队列

普通的队列是一种先进先出的数据结构，元素在队列尾追加，而从队列头删除。在优先队列中，元素被赋予优先级。当访问元素时，具有最高优先级的元素最先删除。优先队列具有最高级先出（first in, largest out）的行为特征。通常采用堆数据结构来实现。

堆

堆（英语：heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

堆的实现通过构造二叉堆（binary heap），实为二叉树的一种；由于其应用的普遍性，当不加限定时，均指该数据结构的这种实现。这种数据结构具有以下性质。

任意节点小于（或大于）它的所有后裔，最小元（或最大元）在堆的根上（堆序性）。
堆总是一棵完全树。即除了最底层，其他层的节点都被元素填满，且最底层尽可能地从左到右填入。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

我们这里讲的是二叉堆。

堆的入队和出队的时间复杂度都是O(log n)

上图就是一个最大堆的事例

下面我们使用数组来构建一个最大堆，在这里为了便于理解，数组索引为0的节点不存放数值，从第二个节点开始存放数据。

当前节点的父节点、左孩子、右孩子的索引就会有如下的关系：

父节点的索引：index/2 (index为当前节点的索引)
左孩子的索引：index*2
右孩子的索引：index*2+1

如果从数组的第一个节点开始存放数据的话，当前节点的父节点、左孩子、右孩子的索引就会有如下的关系：

父节点的索引：(index-1)/2 (index为当前节点的索引)
左孩子的索引：index*2+1
右孩子的索引：index*2+2

最大堆的基础架构

import java.util.ArrayList;
public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {
    //这里使用数组来实现
    private ArrayList<E> data;
    public MaxHeap(int capacity) {
        data = new ArrayList<>(capacity);
    }
    public MaxHeap() {
        data = new ArrayList<>();
    }
    //返回堆中元素的个数
    public int getSize() {
        return data.size();
    }
    //判断堆是否为空
    public boolean isEmpty() {
        return data.isEmpty();
    }
    //返回完全二叉树中索引为index的节点的父节点的索引
    private int parent(int index) {
        if (index == 0)
            throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent");
        return (index - 1) / 2;
    }
    //返回完全二叉树中索引为index的节点的左孩子的索引
    private int leftChild(int index) {
        return index * 2 + 1;
    }
    //返回完全二叉树中索引为index的节点的右孩子的索引
    private int rightChild(int index) {
        return index * 2 + 2;
    }
    //交换索引为i、j的值
    private void swap(int i, int j) {
        E t = data.get(i);
        data.set(i, data.get(j));
        data.set(j, t);
    }
}

往堆中添加元素

再向堆中添加元素时，除了要维持完全二叉树的结构，还要注意堆的约束条件：根节点的值要大于左右子树的值。

在这里因为我们使用数组来实现的堆，所以添加元素时，我们可以先将元素添加到数组的末尾，然后循环的与父节点比较大小，比父节点大就与父节点交换位置，之后就继续与新的父节点比较大小，直到小于等于父节点。

如上图所示，我们要在这个堆中添加一个元素36

先将元素添加到数组的末尾。

然后通过当前的索引计算出父节点的索引，通过索引得到父节点的值16，通过比较新添加的节点比其父节点大，所以将新添加的值与父节点交换在数组中的位置。之后再与新的父节点41比较，36<41，结束操作。

添加元素的代码实现

//向堆中添加元素
public void add(E e) {
    data.add(e);
    siftUp(data.size() - 1);
}
private void siftUp(int k) {
    //k不能是根节点，并且k的值要比父节点的值大
    while (k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0) {
        swap(k, parent(k));
        k = parent(k);
    }
}

删除堆顶元素

删除堆顶元素要注意维持堆的特殊性质。这里举个例子。

要将这个堆中删除最大值，也就是堆顶元素62，先将62取出。

将堆顶元素和堆的最后一个元素互换，也就是数组的首尾元素互换。

删除最后一个元素，也就是堆中的最大值

将当前的堆顶元素16的左右孩子41、30进行比较，找出最大的一个41，再与根节点16进行比较，左孩子41比根节点16大，所以将根节点与其左孩子互换，如上图所示。
重复上面的操作，直到当前节点的值大于其左右子树。过程如下所示。

删除堆顶元素的代码实现

//看堆中最大的元素
public E findMax() {
    if (data.size() == 0)
        throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty");
    return data.get(0);
}
//取出堆中最大的元素
public E extractMax() {
    E ret = findMax();
    swap(0, data.size() - 1);
    data.remove(data.size() - 1);
    siftDown(0);
    return ret;
}
private void siftDown(int k) {
    //leftChild存在
    while (leftChild(k) < data.size()) {
        int j = leftChild(k);
        //rightChild存在,且值大于leftChild的值
        if (j + 1 < data.size() &&
                data.get(j).compareTo(data.get(j + 1)) < 0)
            j = rightChild(k);
        //data[j]是leftChild和rightChild中最大的
        if (data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0)
            break;
        swap(k, j);
        k = j;
    }
}

Replace操作

Replace是指将堆中的最大元素取出，替换另一个进去。

自然地我们会想到使用之前的extractMax()和add()来实现，但是这样的时间复杂度将会是两次的O(log n)，因此我们可以直接将堆顶元素替换以后执行sift down操作，这样时间复杂度就只有O(log n)。

//取出堆中最大的元素,替换为元素e
public E replace(E e){
    E ret = findMax();
    data.set(0, e);
    siftDown(0);
    return ret;
}

Heapify操作

Heapify是指将数组转化为堆

这里我们先将数组直接看成是一个完全二叉树，然后找到这棵二叉树的最后一个非叶子节点的节点，也就是该树的最后一个节点的父节点。然后从这个节点开始到根节点结束，执行sift down操作。

这样的时间复杂度为O(n)

Heapify代码实现

//heapify操作:将数组转化为堆
public MaxHeap(E[] arrs) {
    data = new ArrayList<>(Arrays.asList(arrs));
    for (int i = parent(data.size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

堆排序思路

1、先数组初始化建立最大堆：时间复杂度为O(n)
2、然后第一个值和最后一个值替换：时间复杂度为O(1)
3、除开最后一个值再剩下的建立最大堆：时间复杂度为O(logn)
4、重复步骤2和3直到全部排序完，则数组排序成功：时间复杂度为O(n+nlogn)

所以堆排序的时间复杂度为：O(n)+O(n+nlogn)=O(nlogn)

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