个人随笔
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命题及充分条件、必要条件知识点总结
2021-05-20 17:46:33

一、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

二、四种命题及其关系

1.四种命题

命题 表述形式
原命题 若p,则q
逆命题 若q,则p
否命题 若^p,则^q
逆否命题 若^q,则^p

2.四种命题间的逆否关系

3.四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

三、充分条件与必要条件

1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.

2.如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.

四、解题方法

1.充分条件与必要条件的两个特征

(1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”;
(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件.
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同,前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”.

2.从逆否命题,谈等价转换

由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则反”.

3.在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系

要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.

4.充要条件的判断

重在“从定义出发”,利用命题“若p,则q”及其逆命题的真假进行区分,在具体解题中,要注意分清“谁是条件”“谁是结论”,如“A是B的什么条件”中,A是条件,B是结论,而“A的什么条件是B”中,A是结论,B是条件.有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分.

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